Библиотека | Раритеты

Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми
Книга об индийском счете

Сказал Алгоризми¹: Вознесем достойную похвалу богу, правителю и защитнику нашему, воздадим ему должное и хвалу умножим прославлением, помолимся ему, чтобы направил он нас по стезе справедливости, чтобы вел нас дорогой истины, чтобы помог нам исполнить то, что мы решили разъяснить об индийском счете с помощью .IX. букв², которыми они выражали любое свое число для легкости и краткости, облегчая дело тому, кто изучает арифметику, т. е. число самое большое и самое малое, и все, что есть в нем от умножения и деления, сложения, вычитания и прочее.

Сказал Алгоризми: Когда увидел я, что индийцы³ составляли из .IX. знаков любое свое число, благодаря расположению, какое они установили, я пожелал раскрыть, если будет угодно богу, что получается из этих букв для облегчения изучающему. Если индийцы именно того хотели и смысл для них в этих .IX. буквах был тот, который мне открыт, да направит меня бог на это. Если же они делали это по другой причине, кроме той, которую я указал, из моего изложения и эту причину можно будет найти точно и без всякого сомнения. И она легче откроется наблюдающему и изучающему.

Пишут же они .IX. букв, фигуры которых такие... В фигурах! их имеются также различия у разных людей: такое различие бывает в фигуре буквы пять и шесть, а также семь и восемь. Но в этом нет никакой помехи. Ведь это знаки, выражающие число, а фигуры, в которых имеются различия, следующие...⁴ Я уже открыл в книге алгебры и алмукабалы, т. е. восполнения и противопоставления, что всякое число является составным и что всякое число составляется из единиц. Итак, единица находится в каждом числе. И об этом говорится в другой книге по арифметике. Единица есть корень всякого числа, и она находится вне чисел. Корень числа она потому, что через нее определяют всякое число. Вне чисел она потому, что определяется сама по себе, т. е. без какого-либо другого числа. Остальные же числа не могут быть найдены без единицы. Ведь когда ты гопоришь «единица», то она для определения своего не нуждается в другом числе, а остальные числа нуждаются в единице, потому что не можешь сказать «два» или «три», если этому не предшествует единица. Итак, число есть не что иное, как собрание единиц, и когда мы говорили, что ты не можешь сказать «два» или «три», если не предшествует единица, то мы говорили нс о словах, а, так сказать, о существе дела. Ведь не || может быть два или три, если об. уничтожить единицу. Единица же может быть без второго и третьего. Итак, два есть не что иное, как удвоенность или удвоение единицы. Таким же образом три не что иное, как утроение той же единицы. И так же следует понимать прочие числа. А теперь вернемся к книге⁶.

Я нашел, говорит Алгоризми, все, что можно назвать из чисел, т. е. все, что сверх единицы и до .IX., т. е. то, что между .IX. и единицей, если единица удваивается, то будет два, утраивается та же единица — будет три, и так далее до .X. Затем на место единицы ставится X и удваивается .X. и утраивается, как это делалось с единицей, и получается из их удвоения .XX., из утроения .XXX , и так до .ХС. Затем следует .С. на место единицы и удваиваются там и утраиваются, как это делалось с единицей и .X., и получается из них .СС., .ССС. и так далее до .СССС. Далее ставятся тысячи на место единицы, и удвоением и утроением, как мы говорили, получаются из них таким же образом .II. тысячи, .III. тысячи и далее до бесконечного числа⁷ в соответствии с этим способом. И я нашел, какие действия производили индийцы с этими разрядами. Из них первый — это разряд единиц, в котором удваивается и утраивается все, что стоит между единицей и .IX. Второй — разряд десятков, в котором удваивается и утраивается все, что от .X. до девяноста. Третий — разряд сотен, в котором удваивается и утраивается все, что от .С. до .DCCCC. Четвертый же — разряд тысяч, в котором удваивается и утраивается все, что от тысячи до .IX. М. Пятый разряд .X. Таким образом, всякий раз, когда возрастает число, прибавляются разряды, и будет расстановка числа такая: всякая единица в высшем разряде будет в низшем, который перед ним, .X., а та, что была .X. в низшем, будет единицей в высшем, который предшествует ему^7а. Начало разрядов будет справа от пишущего. И это будет первый из них, и состоит он из единиц. Если же они ставили .X. вместо единицы, и были они во втором разряде, н была их фигура изображением единицы, то была необходима им фигура десятков, подобная фигуре единицы, чтобы было известно из нее, что это .X. Итак, они ставили перед нею один разряд и ставили в нем маленький кружок, .наподобие о, чтобы по нему знали, что разряд единиц пуст и что нет в нем никакого числа, кроме маленького кружка, который, как мы говорили, его занимает⁸. И этим показано, что число, которое стоит в следующем разряде, будет десятки и что это второй разряд, т. е. разряд десятков. После кружка они ставили в указанном втором разряде все, что хотели, из числа десятков, т. е. из того, что есть между .X. и .ХС., и это есть фигуры десятков. Фигура .X. такая... Фигура .XX. ... И таким же образом фигура .XXX. такая⁹ || и так до .IX. Следовательно, кружок будет в первом разряде, а цифра, относящаяся к самому числу, во втором разряде. Но следует знать, что цифра, означающая в первом разряде единицу, во втором означает .X., в третьем .С., в четвертом .М. Точно так же та, которая означает в первом разряде два, во втором означает .XX.* в третьем .СС., в четвертом .II, и то же самое разумей о других.

Мы же вернемся к книге¹⁰.

После разряда десятков следует разряд сотен, в котором удваивается и утраивается все, что есть от .С. до .DCCCC., и фигура сотни такая, как фигура единицы, поставленная в третьем разряде, т. е. .100., фигура двухсот такая, как фигура двух, поставленная точно так же в третьем разряде, т. е. .200., фигура трехсот также есть фигура трех, поставленная в третьем разряде, т. е. .300.¹¹, и так далее до девятисот. За этим следует разряд тысяч, в котором таким же образом удваивается и утраивается все, что от тысячи до .IX.. Фигура ее как фигура единицы, поставленная в четвертом разряде, т. е. .1000., фигура двух тысяч такая, как фигура двух, поставленная в четвертом разряде, т. е. .2000., и так далее до .IX. тысяч. В четвертом разряде перед цифрой ставятся три кружка, чтобы показать, что это в четвертом разряде, точно так же, как во втором разряде ставится один кружок, а в третьем два, чтобы показать, что это разряды десятков и сотен. Так происходит, когда перед самим числом нет еще другого числа в том же разряде. Если же с числом, которое ставится в этих разрядах, имеется еще другое число ниже его, оно должно ставиться в том разряде, который ему причитается. Например, если имеется с .X. какое-нибудь число из тех, которые ниже его, допустим, .XI. или .XII., ставится так: 11, т. е. в первом разряде, где стоял кружок, ставится единица, а во втором разряде ставится также единица, которая означает .X.. Подобным же образом, если имеется с .С. другое число из тех, которые ниже его, то оно ставится в разряде, какой ему причитается. Это мы покажем на некотором примере и посмотрим, каким будет число .ССС.ХХV. Если мы захотим расставить его по своим разрядам, расставим так. Начнем справа от пишущего и поставим в первом разряде .V., во втором, идя налево от пишущего, .XX., а в третьем разряде .ССС., каждое число в своем разряде, т. е. единицы в разряде единиц, который является первым, десятки в разряде десятков, который является вторым, сотни в разряде сотен, который является третьим, и так получается фигура .325.¹² То же самое будет в других разрядах в том же порядке, т. е. сколько бы ни прибавлялось число и ни возрастали разряды, ставится каждый род числа в своем разряде, какой ему причитается. Если же в каком-нибудь разряде собралось .X. или больше, то они выдвигаются в высший разряд, и будет из каждых ,Х. в высшем разряде единица. Опять-таки, если в том разряде, в который перешло число при возрастании, было уже другое число, то оно прибавляется к нему и соединяется с ним; а если стало в нем .X. или большее, то станет из каждых .X. единица и выдвигается в высший разряд, т. е. если в первом разряде соб-Ю5 ралось десять, [| станет из них единица, и она ставится во вто-об. ром разряде, а если в этом же разряде также было число, оно соединяется с ним, и если было там .X., станет из них единица, и она выдвигается в третий разряд. Например, если в первом разряде, т. е. в разряде единиц, ты имеешь .X., сделай из них единицу и поставь ее во втором разряде. В первом же разряде поставь кружок, как мы сказали, чтобы показать, что есть два разряда. Если же будет .XI., сделай из .X. единицу, поставь ее во втором разряде, как выше, и оставь единицу в первом. Если же во втором разряде, где ты поставил то число, которое сделал из .X., найдешь еще какое-нибудь число, соедини его с ним. И если получится .X. или больше, сделай из .X. единицу и снова поставь в третьем разряде, а что осталось сверх десяти, пусть остается на своем месте. Когда мы говорим «большее .X.», то это относится к большим числам. Например, если будет во втором или третьем разряде большее число, допустим, если ты найдешь в третьем разряде, который есть разряд сотен, .IX., и если будет во втором разряде .X., ты сделаешь из .X. единицу и переставишь ее в третий разряд, где соединишь ее с .IX. и будет .IX.; сделаешь единицу из этих десяти, переставишь ее в четвертый разряд, и там будет тысяча. Если же ты нашел во втором разряде .XX., сделаешь из них два, прибавив два к .IX. в третьем разряде, и получишь .XI.; сделаешь снова из .X. единицу и переставишь ее в четвертый разряд, где станет тысяча, и останется единица в третьем разряде, и это значит «десять или больше». И нужно знать, почему, когда ты переставляешь число и ставишь его в следующий разряд, ты должен ставить его в своих цифрах, т. е., если было .X., ставишь вместо них цифру, которая означает в первом разряде единицу, а если было .XX., ставишь вместо них цифру, означающую в первом разряде два, и так разумей об остальных. Если же осталось в том разряде, из которого ты переставил число, что-нибудь от числа, оставь его также в своей цифре, т. е., если осталась единица или два, оставь их там в цифрах, означающих то же число, т. е., если осталась единица, напишешь там цифру единица, если осталось два, напишешь там цифру два и так далее. Но каждая отдельная фигура будет иметь то или иное значение в зависимости от того, в каком она разряде, т. е. в первом разряде она будет означать единицы, во втором десятки, в третьем сотни и так далее, как это было сказано выше¹³.

Если же будет большое число и ты захотел бы знать, каково оно или сколько разрядов в нем, чтобы записать его в книге или чтобы произнести его, знай, что не будет ни в одном разряде больше .IX. и меньше единицы, если только нет здесь кружка, который есть ничто. Итак, если ты захочешь это знать, сосчитай разряды, начиная от первого с правой стороны, т. е. разряда единиц. Остальные разряды будут написаны последовательно влево от пишущего. Из них второй будет разряд десятков, третий сотен, четвертый тысяч, пятый .X. тысяч, шестой разряд будет .С. тысяч, седьмой тысяча тысяч, VIII будет .X. тысяч тысяч, || девятый .С. тысяч тысяч, десятый тысяча тысяч тысяч три раза¹⁴, одиннадцатый .X. тысяч тысяч тысяч три раза, двенадцатый .С. тысяч тысяч тысяч три раза, XIII тысяча тысяч тысяч тысяч четыре раза, и таким образом ты в каждом разряде прибавляешь из разрядов числа со своим названием. Так как сверх трех разрядов, т. е. десятков, сотен и тысяч, остается еще единица, то будет .X. тысяч самих тысяч, которые получились у тебя в сказанном. Если же останется два, будет .С. тысяч самих тысяч. И я составил тебе образец, из которого ты можешь знать и которым можешь показать, как что-либо к числу прибавляется или от него отнимается. И такова будет его фигура...¹⁵.

Две буквы, если ты сложишь их согласно тому, что мы говорили об этих знаках, будет число тысяч этих знаков тысяч тысяч [тысяч] тысяч пять раз, согласно числу цифр у них; и сто тысяч тысяч тысяч тысяч четыре раза, согласно числу цифр у них, и восемьдесят тысяч тысяч тысяч тысяч четыре раза, согласно их цифрам. Далее семьсот тысяч тысяч тысяч три раза, согласно числу цифр у них; и три тысячи тысяч тысяч три раза и пятьдесят одна тысяча тысяч два раза; и четыреста тысяч, и девяносто две тысячи и восемьсот шестьдесят три.

Если ты хочешь прибавить число к числу или отнять число от числа, поставь оба числа в два ряда, т. е. одно под другим, и пусть будет разряд единиц под разрядом единиц и разряд десятков под разрядом десятков. Если захочешь сложить оба числа,» т. е. прибавить одно к другому, то прибавишь каждый разряд к разряду того же рода, который над ним, т. е. единицы к единицам, десятки к десяткам. Если в каком-нибудь из разрядов, т. е_ в разряде единиц или десятков, или каком-нибудь другом соберется десять, ставь вместо них единицу и выдвигай ее в верхний ряд, т. е. если ты имеешь в первом разряде, который есть разряд единиц, десять, сделай из них единицу и подними ее в разряд десятков, и там она будет означать десять. Если от числа осталось что-нибудь, что ниже десяти, или если само число ниже десяти, оставь его в том же разряде. А если ничего не останется, поставь кружок, чтобы разряд не был пуст; но пусть будет в нем кружок, который займет его, чтобы не случилось так, что если || он будет пуст, разряды уменьшатся и второй будет принят за первый, и так ты обманешься в своем числе. То же самое ты сделаешь во всех разрядах. Подобным же образом, если соберется во втором разряде .X., сделаешь из них единицу и поднимешь ее в третий разряд, и там она будет означать сто, а что остается ниже .X., останется здесь. Если же ничего в других не остается, ставишь здесь кружок, как выше. Так ты сделаешь в других разрядах, если будет больше. Если же ты захочешь отнять одно от другого, т. е. число от числа, отнимай каждый разряд от другого разряда того же рода, который над ним, как это было сказано выше. Если же в верхнем разряде не будет такого числа, из которого ты сможешь вычесть число нижнего разряда, т. е., если там будет меньше или нуль, ты возьмешь из следующего высшего верхнего разряда единицу и сделаешь из нее десять и из этого вычтешь то, что должен, а что останется, поставишь в том же верхнем разряде. А если ничего не останется, поставишь там кружок, как выше; если же во втором разряде сверху не было ничего, возьми единицу из третьего разряда, и будет .X. во втором. И снова из этих .X. возьми единицу, и поступи с нею так, как выше, и останется во втором .IX.; и начинай всегда при сложении и вычитании с более высокого разряда, а затем от следующего, который идет за ним, ибо так будет труд полезнее и легче, если угодно будет богу. Чтобы легче это понять, необходимо показать это на примере, и мы покажем тремя способами, чтобы никто не запутался в каком-нибудь способе. Итак, составим какое-нибудь число и скажем, например: поставим шесть тысяч четыреста двадцать два в своих разрядах и скажем, что мы хотим отнять от них три тысячи двести одиннадцать. Итак, поставим в первом разряде, который находится справа, два, во втором .XX., в третьем четыреста, в четвертом шесть тысяч, поставим также то число, которое мы хотим отнять от него, под ним подобными же разрядами так: поставим единицу под двумя в первом разряде, .X. под .XX. во втором, двести под четырьмястами в третьем и три тысячи под .VI. тысячами в четвертом, и такова будет их фигура... Если же мы захотим отнять одно число от другого, а именно, меньшее от большего, начнем с высшего разряда, т. е. с четвертого. Итак, отнимем ЛИ. от .VI., и останется три в четвертом разряде. Отнимем также два от .1111., и останется в третьем разряде два. Отнимем также единицу от .II., и останется единица во втором разряде. Таким же образом останется в первом разряде единица, если мы отнимем единицу от двух, которые' были над 107 нею, !! и фигура того, что останется, будет такая...¹⁶.

Поставим снова другое число другим образом так, чтобы от его разрядов ничего не осталось. Пусть будет наше число тысяча сто сорок четыре, от которых отнимем C.XLIIII. и поставим каждое из них под другим таким образом...¹⁷.

Если ты захочешь раздвоить какое-нибудь число¹⁸, начни с первого разряда и раздвой его; если в нем было число нечетное, раздвой четное, и останется единица, которую раздвоишь, т. е. разделишь на две половины, и одну половину составят тридцать частей из шестидесяти, составляющих единицу¹⁹, и поставишь под тем же разрядом XXX, затем раздвоишь следующий разряд, если число его было четным; если же оно нечетное, возьми половину четного и поставь ее на ее место, и составь как половину оставшейся единицы пять и поставь их в предыдущем разряде. Однако, если в том же разряде, который ты хочешь раздвоить, нет ничего, кроме единицы, ставь на ее место кружок и ставь пять в предыдущем разряде. И таким же образом действуй во всех разрядах. И если хочешь удвоить, начни с высшего разряда и удваивай, а если число, возрастая, превысит .X., сделай из десяти единицу и поставь ее в следующий разряд, и ты найдешь, если будет угодно богу.

Я показал уже в книге, что при умножении числа на какое-либо другое число необходимо повторить одно из них соответственно единицам другого²⁰. И если ты захочешь умножить какое-нибудь число на другое с помощью индийских букв, необходимо запомнить умножение чисел, которые имеются между единицей и .IX., друг на друга, совпадают ли эти числа, или они различны²¹. Если же ты хочешь умножить число на другое, поставь одно из них, согласно количеству его позиций на доске или на каком-нибудь другом предмете, каком тебе угодно²². Затем поставь первый разряд второго числа под высшим разрядом первого. И будет йервая позиция этого числа под крайней позицией первого числа, какое ты поставил. И будет вторая позиция предшествовать первому числу налево, чему пример будет: если бы мы захотели умножить две тысячи триста .XXVI. на .ССХ.ІПІ. и поставили две тысячи триста .XXVI. индийскими буквами в НИ разрядах, будет в первом разряде, который справа, .VI., во втором два, что есть .XX., в третьем три, что есть триста, и в четвертом два, что есть две тысячи. После этого поставим под двумя тысячами .1111., затем в предшествующем налево единицу, что есть .X., после этого в третьем два, что есть двести, и фигура их будет такая...²³.

После этого начинай от крайнего верхнего разряда и умножай 107 его на крайний разряд нижнего числа, который под ним, или, что об. получится от умножения, напиши сверху. После этого напишешь также в следующем разряде, идя в правую сторону нижнего числа. Затем сделаешь таким же образом, пока не перемножишь крайний разряд верхнего числа на все разряды нижнего числа; а когда ты это завершишь, сдвинь нижнее число на один разряд вправо. И будет первый разряд нижнего числа под следующим направо разрядом числа, которое ты умножал. Затем поставь остальные разряды в их последовательности. После этого будешь умножать также само число, под которым ты поставил первый разряд нижнего числа в крайней позиции нижнего числа; затем на тот, который следует за ним, пока не завершишь все так же, как делал это в первом разряде. Или все, что сложилось из умножения каждого разряда, напишешь над разрядом, который находится над ним; или, когда ты это сделаешь, сдвинешь также это число, т. е. твое, на один разряд, и сделаешь с ним то, что сделал в первых разрядах, и не перестанешь это делать, пока не завершишь все разряды. И так будешь умножать каждое верхнее число на каждое нижнее число. Если же получится так, что первый разряд нижнего числа окажется под каким-нибудь разрядом, в котором нет никакого числа, т. е. в котором был кружок, сдвинем его к следующему разряду направо, в котором было число. Поскольку каждый кружок, умноженный на какое-либо число, есть ничто, т. е. из него не возникнет никакое число, то и из умножения на кружок подобным же образом не получается ничего. Когда же мы сдвинули разряды направо, а затем перемножили само верхнее число на каждый разряд нижнего числа, то, что получилось у нас от умножения, прибавим к разряду, стоящему над тем разрядом, на который мы умножали. А когда с возрастанием числа соберется у нас в каком-нибудь разряде .X., сделаем из них единицу и поставим ее в следующий разряд налево, и, если что-нибудь останется, обозначим это на своем месте, если же ничего не останется, поставим вместо этого кружок, чтобы не убавилось что-нибудь от разрядов. И когда дошло умножение до первого разряда нижнего числа, сотрем то, что было в разряде, который над ним, и вместо него обозначим то, что получилось у нас от умножения. И так будем делать, пока не перемножим все разряды верхнего числа на все разряды нижнего. Так будем 118 умножать || число из них по числу единиц другого, и завершится умножение. И такова будет фигура числа, которое получилось у нас от умножения двух тысяч трехсот двадцати шести на двести .XIIII., что составляет четыреста тысяч и девяносто семь тысяч и семьсот .LXIIII.²⁴.

Если ты хочешь знать, нашел ли ты или ошибся в своем удвоении или умножении, возьми число, которое ты хотел удвоить, и раздели его на .IX. и .IX., и то, что останется меньше .IX., удвой; если в нем было .IX, отбрось их, а что осталось, сохрани. После этого удвой твое число, т. е. число, которое ты хотел удвоить, и раздели его на .IX. и .IX., и если то, что останется, будет сходно с тем, что оставалось раньше, когда ты удваивал его, то значит, ты нашел; если же нет, то ошибся. А если ты хочешь помножить какое-нибудь число на другое и хочешь проверить, как выше, раздели число, которое удвоил, на .IX., а что осталось ниже .IX., сохрани. Снова раздели другое число на .IX. и что осталось ниже .IX., сохрани. Затем умножь то, что осталось от первого, на то, что осталось у тебя от второго; из того/ что получилось, отбрось .IX., если там они есть, а если там нет .IX., тогда то, что получилось, будет обозначено. Если же там есть .IX., отбрось .IX. и сохрани, что осталось; и разумей, зачем это будет обозначено. После этого помножь один множитель на другой и раздели то, что получилось, на .IX., и если то, что осталось, сойдется с тем, что я сказал тебе обозначить, знай, что ты нашел. Если же не сойдется, разумей, что ошибся²⁵.

При делении²⁶ расставь число, которое хочешь делить, по его разрядам. Затем поставь само число, на которое хочешь делить, иод ним. И пусть будет крайний разряд числа, на которое ты делишь, под крайним разрядом верхнего числа, которое делишь.

Если же число, являющееся крайним разрядом числа, которое ты хочешь делить, будет меньше того, которое есть крайний разряд нижнего числа, на которое ты делишь, сдвинь сам разряд вправо, так как чисел верхнего разряда будет больше I: поставь крайний разряд нижнего числа, на которое ты делишь, под вторым разрядом, следующим за крайним разрядом верхнего числа. После этого посмотри на первый разряд числа, на которое ты хочешь делить, и поставь прямо над ним над верхним числом, которое ты делишь, или прямо под ним, под этим числом, какое-нибудь || число, которое затем умножь на крайний разряд ниж- 108 него числа, на которое ты делишь, и оно будет сходно с тем чис- об. лом, которое было в верхнем разряде, или близко к нему, но меньше его. И когда ты определишь его, умножь его на крайний разряд нижнего числа, и отними то, что получится у тебя от умножения, от того, что находится над ним из нижнего числа, которое делится. Снова умножь его на второй разряд, который следует за крайним разрядом вправо, и отними его от того, которое над ним, и производи вычитание так, как мы делали в начале книги, если хотели отнять какое-нибудь число от какого-нибудь числа. И поступай таким образом, пока не умножишь его на все разряды нижнего числа, на которое делишь. После этого сдвинь все разряды нижнего числа, на которое делишь, на один разряд вправо и поставь на прямой с его первым разрядом, подобно тому, что ставил раньше. И когда ты это умножишь на крайний разряд нижнего числа, на которое делишь, оно даст в итоге то, что над ним или что близко к нему; и умножь то, что ты поставил на прямой с ним, на крайний разряд нижнего »числа. И отними то, что получилось у тебя от умножения, от того, что над ним; и так будешь поступать во всех разрядах, и если останется от разрядов верхнего числа, которое ты делишь, что-нибудь, что должно быть разделено, всегда сдвигай разряды нижнего числа на один разряд до тех пор, пока будет первый разряд его на прямой с каким-нибудь разрядом верхнего числа; если же в каком-нибудь из разрядов числа, которое ты делишь, будет кружок, и сдвиг дойдет до него, не переходи его, как ты делал это при умножении, но поставь прямо над ним что-нибудь, что будешь множить, так, как мы рассказывали. Когда же ты все это заверишь, то, что получится у тебя из разрядов прямо над числом, которое ты делишь, то и причитается одному. А если что-нибудь останется, это будет часть единицы из того числа, которое ты делишь, и оно никогда не останется, если только не будет меньше того, которое ты делишь. Если же останется больше» знай, что ты ошибся.

И знай, что деление подобно умножению, однако обратно ему, так как при делении мы вычитаем, а там складываем, т. е. в умножении есть пример тому. Если бы мы захотели разделить сорок шесть тысяч четыреста шестьдесят восемь на триста .XXIIII., поставим сначала с правой стороны восемь, потом поставим шесть слева, что есть шестьдесят, затем .IIII., что есть четыреста, потом шесть, что есть .VI. тысяч, потом .1111., что есть сорок тысяч. Крайний из этих разрядов будет слева, а первый из них, восемь, II справа. После этого напишешь под ними число, на которое делишь, и напишешь крайний разряд числа, на которое делишь, т. е. фигуру трех, означающую триста, под крайним разрядом верхнего числа, т. е. .1111., потому что это меньше того, что над ним; если же оно было бы больше, мы подвинули бы его на одну позицию и поставили бы его под шестью; после этого поставим в нем следующую за тремя фигуру двух, что есть .XX., под шестью; после этого поставим в ней IIII., следующие за [двумя, под] четырьмя, и фигура их будет...²⁷.

После этого условно напишем прямо над первым разрядом числа, на которое делим, над верхним числом, которое делим» т. е. над четырьмя, единицу; и если мы поставили бы ее под четырьмя, было бы то же самое. Умножим ее на три и отнимем от того, что над ним, останется единица. Затем умножим ее на два и отнимем от того, что над нею, т. е. от .VI. и останется ЛИ. После этого умножим ее снова на IIII. и отнимем от того, что над нею, т. е. от НИ, и ничего не останется, и поставим на это место кружок. После этого переставишь начало числа, на которое делишь, т. е. IIII., под .VI., и будет два под кружком и ЛИ. под IIII. Затем напишешь прямо над нижним числом что-нибудь в ряду единицы, т. е. IIII., что умножишь на три, и будет .XII., и отнимешь их от того, что над тремя, т. е. от .ХИН., и останется .II.; после этого умножишь также IІІІ. на два, которые следуют за тремя, и будет .VIII., которые отнимешь от того, что над ним, т. е. от .XX., и останется .XII., а именно,— .11. над двумя и единица над тремя. Снова умножишь IІІІ. на IІІІ., которые следуют вправо, и будет .XVI.; отнимешь их от того, что над ними, т. е. от .СХХVІ., и останется над IІІІ. кружок и над двумя единица и над тремя единица. Снова сдвинешь число, на которое делишь, т. е. будет IІІІ., под .VIII., два под кружком и три под единицей; после этого поставишь прямо над IІІІ. над верхним числом, которое делишь, в ряду с IІІІ. и единицей три, которые умножишь на три и будет .IX., отнимешь их от того, что над тремя, т. е. от .XI., и останется над тремя два. Помножишь также три на два, которые следуют за тремя, и будет .VI., которые отнимешь от того, что над тремя, т. е. от .XX., и останется .XIIII. Снова умножишь упомянутые три на НИ, которые следуют за двумя, и будет .XII., и отнимешь их от того, что над ними, т. е. от .СХХVІІІ., и останется над .1111. шесть, и над двумя три, и над тремя единица, и получится у нас то, что причитается одному из них, и эго будет .CXLIII. и .СХХХVІ. частей из .СССХХІІІІ. частей единицы. И такова их фигура...²⁸

И если ты хочешь разделить многие разряды на один, допустим, тысячу .DCCC. на .IX., напиши тысячу восемьсот, фигура которых будет такова, что ты поставишь справа два кружка, потом .VIII. и дальше единицу; после этого поставишь .IX. под .VIII., потому что они ¡больше .VIII.; затем напишешь прямо над ними над восемью что-нибудь, что при умножении на .IX. даст в итоге то, что над ними, т. е. даст .XVIII., которые над .IX., и ты найдешь, что это будет два, которые ты умножишь на .IX.; и будет .XVIII,; отнимешь их от того, что сверху, и не останется ничего.

Затем сдвинешь .IX. на один разряд вправо и они окажутся над кружком. И поставишь сверху что-нибудь, что при умножении на .IX. даст ничто, поскольку над .IX. стоит кружок и там нет никакого числа. Итак, поставишь кружок прямо над .IX. в ряду с двумя и умножишь .IX. на кружок, и будет кружок, т. е. ничто. После этого сдвинь также .IX. к разряду, который перед ними, т. е. к первому разряду, и будет .IX. под кружком. Сделай с ними то, что ты сделал с кружком, который был [над] ними. И будут там два кружка, после которых ‘будут два, т. е. двести, и это есть то, что причитается одному, и от того, что делится, не останется ничего. И всякий раз, когда ты будешь делить одно число на другое, и от того, которое делится, останутся кружки, перед, которыми нет никакого числа, возьми то, что было в остатке от кружков с начала разрядов делимого числа с правой стороны и прибавь это к тому, что получилось от деления, и что получится,, есть то, что причитается одному. И это некоторое ближайшее сокращение. Ведь первый ряд есть ряд действия, примером чего мажет служить то, что когда мы пишем тысяча .DCCC., будут два кружка и .VIII. в третьем разряде и единица в четвертом. Мы поставили .IX. под .VIII. потому, что они больше того, что стоит в крайнем разряде, и фигура их была такая...²⁹ Когда же мы написали прямо над .IX. и над .VIII. два и умножили их на .IX., получилось .XVIII., и когда мы отняли ¡их от того, что над .ІХ._# осталось два кружка, не имеющих перед собой никакого числа. Итак, мы написали два кружка в ряду с двумя, которые стоят над .IX., и будет .СС, фигура которых такая...³⁰

Это все, что необходимо людям при делении и умножении для тех чисел, которые были целыми. А теперь, если будет угодно богу, приступим к разбору умножения дробей, их деления и извлечения корней.

Знай, что дроби имеют многие названия, бесчисленные || и ИВ бесконечные, как половина, треть, четверть, одна девятая, одна десятая, одна часть из .XIII., одна часть из .XVIII. и т. д.³¹. Но индийцы основывали свои дроби на шестидесяти: они делили единицу на .LX. частей³², которые называли минутами³³, каждую*

минуту снова на .LX. частей, которые называли секундами³⁴, так что одна часть из .LX. будет минутой, а одна часть из трех тысяч шестисот будет секундой; каждая секунда снова делится на .LX., и будет одна часть из двухсот шестнадцати тысяч терцией³⁵; каждая терция также делится на .LX. кварт³⁶ и такие разряды будут до бесконечности. Итак, первым будет разряд градусов³⁷, в котором находится целое число, а на второй позиции будут минуты, на третьей — секунды, на четвертой — терции и так до .IX. и .X. позиций. Знай, что всякое целое число при умножении на целое число дает целое число и всякое целое число, умноженное на какую-нибудь дробь, дает дробь такого же рода, что и та дробь; и два градуса, умноженные на две минуты, будут .1111. минуты, и три градуса на шесть терций — .XVIII. терций. Минуты на минуты будут секунды, и секунды на секунды—кварты, и терции на терции—сексты, и кварты на кварты—октавы³⁸, ибо ты соединяешь оба разряда, которые множишь друг на друга, и то, что получится из числа дробей, подобно тому, что получится из целого числа, взаимно умноженного. Например, шесть минут, умноженные на .VII. минут, будет .XLII. секунды, так как минуты есть .LX. части одного целого, и когда ты умножишь .LX. части на .LX., будет то, что получится от умножения .LX. на .LX., т. е. три тысячи шестьдесят; и точно так же .VII. секунд на .IX. минут будет ,LX. три терции; и образуют каждые .LX. из них одну секунду, и останется три терции; так как минуты есть .LX. части, а секунды—три тысячи шестисотые. Итак, если умножить их друг на друга, получатся части из двухсот шестнадцати тысяч, т. е. терции, и будут это LX от частей из трех тысяч шестисот.

Если же ты хочешь умножить полтора на полтора³⁹, преврати полтора в минуты, и будет .ХС. Снова преврати полтора, которые хочешь множить, в те же минуты, и будет точно так же .ХС. Умножь одно из них на другое, и будет .VIII. тысяч и .С. секунд. ПО Раздели секунды на .LX., и будут минуты, поскольку каждые || об. .LX. секунд образуют одну минуту. Получится у тебя .С.ХХХ.V. минут; раздели их на .LX., и будут градусы, ибо каждые .LX. минут образуют один градус, т. е. целую единицу из чисел; и получится у тебя два и .XV. минут, которые составляют четверть единицы.

Если ты хочешь умножить две целых [единицы], т. е. два градуса, и .XLV. минут на три целых, .X, минут и .XXX. секунд, преврати две целых в минуты, т. е. умножь их на LX, и будет .СХХ., к которым прибавишь указанные выше .XLV. минут, и будет .CLXV. минут. Сохрани их, так как ты довел их уже до крайнего разряда. После этого преврати упомянутые три градуса в минуты, помножив их на .LX., как выше. К ним прибавь .X. упомянутых минут и будет .С.ХС. минут, затем преврати эти .С.ХС. минут в секунды, снова умножив на .LX., пока не доведешь их до крайнего разряда, т. е. до секунд. Будет .XI. тысяч четыреста, к которым прибавишь .XXX. секунд, стоящих вместе с ними, и бу-

дет .XI. тысяч четыреста [XXX] секунд. И так превратишь их в крайний род дроби того же числа. Умножь все это на .CLXV. минут, и будет тысяча тысяч и восемьсот восемьдесят пять тысяч и девятьсот пятьдесят терций; поскольку ты умножал их, т. е. секунды на минуты, получились терции. Их разделишь на .LX., и получатся секунды. Будет у тебя .XXXI. тысяча и четыреста .XXXII. секунды и останется .XXX. терций. Снова разделишь секунды на .LX., и получатся минуты. Будет у тебя пятьсот .XX. три минуты и сверх того будет .LlI. секунды. Снова раздели минуты, чтобы получились градусы, т. е. целое число. И будет .VIII., и останется .XLIII. минуты. И будет все, что получилось от умножения, восемь градусов, .XLIII. минуты, .LII. секунды и .XXX. терций⁴⁰. Точно так же ты будешь поступать со всеми другими дробями, а именно, превратишь каждую из них, которую хочешь множить, в другой низший разряд, какой был в каждой из них. После этого умножай одну из них на другую и сохрани, что получишь, и посмотри, в каком оно разряде. Затем дели на .LX. гак, как я сказал тебе, и доведешь их до градусов, и они дойдут до них из разрядов, которые ниже градусов, и что получится, будет то самое, что вышло у тебя из умножения одной из них на другую. Есть для этого и другой способ, более короткий, но это тот порядок, который применяли индийцы при своем счете⁴¹.

Знай, что, когда хочешь разделить число с дробью на другое число с дробью, или число с дробью на целое число, или целое число на число с дробью, ты должен сделать оба числа одного рода, т. е. преврати оба числа в низший разряд. Например, если низший разряд был из секунд, преврати оба числа в секунды. Если же были в одном из них терции, в другом секунды, преврати оба в терции; если в каком-нибудь были кварты или сексты или что-нибудь, что ниже этих разрядов, а другое было целое число, преврати оба в тот разряд, который был низшим для обоих, затем дели то, что хотел, на то, что хотел, после того, как ты сделал оба числа одного рода; что || получится, будут градусы, Ц1 т. е. целое число, поскольку всякие два числа одного рода, если разделить одно на другое, дадут в том, что получится от деления, целое число. Например, если разделить .XV. третей на шесть третей, получится от деления два с половиной, так как .XV. третей составляют .V. целых, которые при делении на .VI. третей, составляющих две целых, дадут два с половиной; и таким же образом делятся половины на половины, четверти на четверти, а также минуты на минуты, секунды на секунды, терции на терции⁴². И если ты хочешь разделить .X. секунд на .V. минут, преврати минуты в секунды, чтобы они были одного рода и одного разряда, и будет триста секунд. Если ты хочешь разделить на них .X. секунд, окажется невозможным разделить .X. на триста. Итак, знай, что не получится одного целого, поэтому поставь кружок на место целого, и умножь .X. на .LX., и будет шестьсот; если ты разделишь их на триста, получится два, т. е. две секунды, и это есть то, что причитается одному. Ибо, когда ты множил ее на .XL., а потом делил, ты уже уменьшил ее на один разряд, а это есть секунды. И знай, что при делении всякого числа на какое-нибудь число, если умножить то, что получилось от деления, на то, на какое ты делил, то это даст первоначальное число, т. е„. число, которое делилось. Пример этому: когда ты делишь .L. на .X., получится то, что причитается одному,— пять. Когда же ты умножишь то, что получилось у тебя от деления, т. е. пять, на то, что ты делишь, т. е. на .X., снова будет у тебя первоначальное число, т. е. .L. Следовательно, когда мы делили .X. секунд на .V. минут, получилось то, что причитается одному,— две минуты. И когда мы умножим две минуты, т. е. то, что получилось у нас от деления, на то, на что мы делили, т. е. на .V. минут, получится .X. секунд, и это есть проверка деления⁴³. Точно так же, если ты хочешь разделить .X. минут на .V. терций, преврати минуты в терции, и будет .XXXVI. тысяч терций, и разделишь на .V. терций, и будет .VII. тысяч двести градусов, и это есть то, что причитается одному. Если ты хочешь это проверить, умножь .VII. тысяч двести градусов на .V. терций, и получится .XXXVI. тысяч,, которые при делении на .LX. дадут .VI. сотен секунд, а когда снова поделишь .VI. сотен секунд, получится десять минут⁴⁴.

Если ты хочешь сложить целое число и дроби, поставь целое число в высшем разряде, затем поставь то, что было из первого разряда, т. е. минуты, под целым числом и секунды под минутами; и точно так же терции под секундами, и прочие из разрядов, какие пожелаешь. Пример этому: если бы мы захотели составить .XII. градусов и XXX. минут, и еще .XLV. секунд и .L. кварт, поставим .XII., потом поставим под ними .XXX. в разряде минут, а под .XXX. поставим .XLV. в разряде секунд. В разряде же терций поставим кружки, так как терции отсутствуют, и чтобы было понятно, что еще остались кварты. Дальше мы поставим под кружками пятьдесят в разряде кварт, и фигура их будет такая...⁴⁵

Таким образом [при сложении дробей] ставим все разряды дробей один под другим, и всякий раз, когда соберется в какой-нибудь позиции .LX. или больше, поставим вместо них, т. е. в их разряде, то, что остается сверх .LX., и сделаем из каждых .LX. 111 единицу II и поставим ее в верхний разряд⁴⁶. Таким же образом, об. если бы мы захотели найти дроби [получающиеся при вычитании], начнем с верхнего разряда и будем отнимать каждый разряд от того, который над ним. Если [число] в этом верхнем разряде меньше того, которое ты хочешь отнять от него, или если в нем был кружок, отними единицу от разряда, который над ним, и эта единица будет .LX. частями дроби, с которой производишь действия, и отними от нее то, с чем производишь действия, а то, что останется, прибавь к неполному разряду. А если был над этим разрядом кружок, отними от разряда, который над ним, единицу и сделай из нее .LX. частей в разряде, который под ним, затем снова отними от него еще единицу и, как выше, сделай из нее части в разряде, где ты хотел. Потом отнимай от него, что хотел, а то, что останется, поставь в том разряде, которым заканчивается то, что отнимается от него⁴⁷.

И если [хочешь] удвоить какое-нибудь число или дробь, начни с высшего разряда, а затем с того, который за ним следует. А если собралось в каком-нибудь разряде больше числа его частей, оставь излишек в этом разряде и подними единицу в разряд, который над ним. При раздвоении же начинай с низшего разряда и раздваивай его, затем следующий и если найдешь там единицу, поступи с нею так, как я указал тебе в начале книги.

Если же захочешь умножить дроби и число, а также дроби помимо минут или секунд, например, четверти и седьмые и другие подобные им части, и разделить их друг на друга, то действия с ними будут такие же, как с минутами и секундами. И я составлю себе пример, если будет угодно богу. Я уже открыл тебе в умножении минут, секунд и терций о двух числах, которые ты хочешь умножить друг на друга, т. е. одно на другое, что ты должен сделать их одного рода, иначе говоря, превратить их в род крайнего разряда, т. е., если крайний был из секунд, преврати их [в] секунды, а если он был из терций,— в терции, и так далее. То же самое сделаешь в частях, т. е. если крайний разряд был из пятых или из седьмых, приведи твое число к роду этой же части. После этого ты умножишь их друг на друга и что получится, поднимешь до целого числа, т. е. разделишь его на подобное того же рода, умноженное на другой род, как если бы ты хотел умножить ЛИ. седьмых на .1111. девятых и эти седьмые и девятые были бы в первом разряде дроби, как бы минуты; и ты умножил бы их друг на друга, и они стали бы в своем разряде [как бы] из рода секунд. Если же ты хочешь поднять их до целого числа, раздели их на оба разряда, каковые есть седьмые и девятые. Если оно будет раздельно из них,— то, что. получится от деления, будет целое число. Если же оно не может делиться, будут части единицы и того же рода, на какой ты делил. И будет три седьмых на .1111. девятых.— .XII. частей из .LX. трех частей единицы⁴⁸. Таким образом, если ты хочешь умножить три с половиной на .VIII. и три части из .XI., напиши три и поставь под ними единицу, а под единицей два. И ты уже написал три с половиной, так как половина есть одна часть из двух, точно так же, как одна минута есть одна часть из .LX. частей единицы. Потом напишешь в другой части .VIII. и под ними три, и под тремя .X., п так составишь .VIII....⁴⁹