Наука | Треугольник Паскаля - Основа кубического пространства

С. Гаврилюк

Вступление

Меня всегда интересовало глобальное мироустройство, как, наверное, и многих других людей во все времена и эпохи. Мир настолько удивителен и великолепен, что вызывает неодолимый интерес сам по себе, одним своим существованием, без какой-либо дополнительной для этого причины. Математика одна из тех наук, которая стремится выявить наиболее общие закономерности и универсальные правила в окружающем мире. Поэтому возможности математики как нельзя лучше подходят для рассмотрения вопросов глобального мироустройства.

Мне посчастливилось некоторое время назад посетить несколько семинаров Юрия Ивановича Кулакова, посвященных его теории физических структур. На этих семинарах Юрий Иванович часто раскрывал и другие вопросы, связанные с теорией физических структур только косвенно. На одном из семинаров он как-то заметил: что наше пространство - кубическое. И у меня возникло желание рассмотреть кубы, как некие универсальные объекты являющиеся основой нашего пространства. Для этого была построена таблица, описывающая параметры кубов в многомерном пространстве. Появилась необходимость написать формулу, по которой можно было бы найти любое число в таблице. На мою просьбу откликнулся Олег Горин - один из участников семинаров Юрия Ивановича. Он написал такую формулу. На мой вопрос - как он вывел эту формулу - он ответил что - догадался. Для меня появление этой формулы так и осталось загадкой. После этого Олег мне предложил написать такую же таблицу для треугольников, потому что треугольники, с его точки зрения, являются наиболее простыми и поэтому совершенными объектами по сравнению с квадратами и таблица должна получиться еще интересней. На тот момент мне показалось это бесперспективной идеей, так как метод построения используемый для квадратов, для треугольников не годился. И тогда Олег написал таблицу для треугольников сам.

Оказалось, что эти таблицы отвечают одной и той же формуле, поэтому возникла идея склеить две таблицы в одну и продолжить её дальше в таблицу многомерных объектов. Таким образом - таблица многомерных объектов, представляемая в этой работе, является нашим общим результатом, который как-то разделить на две работы просто невозможно. Однако, описать готовую таблицу мне представляется весьма сложным, потому что многие вопросы, возникающие при анализе таблицы, еще не нашли своих окончательных ответов и информация, предлагаемая как её описание, будет выглядеть отрывочно и бездоказательно. Поэтому наилучший способ, по моему мнению, представить эту работу - это излагать еёпоследовательно: как строилась эта таблица, какие вопросы были заданы, какие ответы получены, а какие идеи появились в какой-то момент построения и пока остались без своего логического завершения.

1. Сравнение квадрата и куба

Возьмем квадрат и куб и сравним их друг с другом. По моему мнению, они отличаются только тем, что квадрат находится в двухмерном пространстве, а куб в трехмерном. Если мы сравним количество их параметров, то увидим, что у квадрата 4 точки, 4 ребра и одна плоскость, а у куба 8 точек, 12 ребер и 6 плоскостей и один объем. Конечно, можно наставить много точек и прочертить много отрезков и в кубе и в квадрате, но минимальный состав, необходимый для существования этих объектов именно такой

Возникает вопрос: Каким же образом увеличивая только мерность пространства, мы получаем столь неравномерное увеличение параметров квадрата? Точек становится в два раза больше, а ребер не в два! Откуда взялись лишние ребра?

Чтобы ответить на этот вопрос - воспользуемся воображением

Представляя себе визуально, как от плоскости квадрата перпендикулярно вырастает третье измерение, мы можем увидеть, как квадрат превращается в куб вместе с возникновением третьего измерения.

Во-первых, мы видим, как от квадрата отслоился его двойник и передвинулся на соответствующее расстояние (чтобы получился куб). Так как сам квадрат удвоился, то и все его параметры удвоились:

точек стало 4*2=8,

ребер стало 4*2=8,

плоскостей стало 1*2=2

Кроме того, мы видим, что каждая точка, двигаясь от первоначального своего положения до остановки, породила ребро. Соответственно между точками, которые входили в состав первоначального квадрата и соответствующими точками квадрата-близнеца, появилось еще 4 ребра, т.е. ребер стало на 4 больше: 8+4=12

Таким же образом мы видим как каждое ребро, двигаясь вместе с квадратом, порождает новую плоскость, т.о. 4 ребра дало еще 4 плоскости: 2+4=6 плоскостей.

Из этого наблюдения можно сделать вывод, что с увеличением мерности, количество элементов каждого параметра удваивается, плюс еще каждый элемент порождает один элемент следующего параметра. Т.е. Чтобы узнать число ребер у куба, нужно взять число ребер у квадрата умножить на два и прибавить число точек у квадрата (из-за того что они породили ребра) и мы получим 12. Таким же образом, чтобы узнать число плоскостей у куба, нужно взять число плоскостей у квадрата, умножить на два и прибавить число ребер у квадрата (из-за того что они породили плоскости в трехмерном пространстве) и мы получим 6.Так мы ответили на вопрос - откуда взялись лишние ребра.

Проводя это построение, можно еще заметить, что с появлением новой мерности число точек только удваивается и к нему не прибавляется число предыдущих порождающих параметров. Чтобы найти число точек у куба, нужно взять число точек у квадрата, умножить на два - получится 8

Кроме этого, это наблюдение дало возможность заметить, как рождается принципиально новый элемент с увеличением мерности. В данном случае это одно пространство, которое вырастает из одной плоскости про помощи того же самого движения в новое измерение. Поскольку один элемент порождает только один элемент следующей мерности, то новый элемент всегда будет один. А может быть, этот элемент и является самим следующим измерением, (именно в случае кубов, так как само наше пространство кубическое), т. е. пространство является третьим измерением, но это скорей поэтическое предположение, чем математическое..

Одного только описания, хотя оно и самоочевидно, я думаю, здесь недостаточно, чтобы утверждать, что вопрос с подсчетом элементов в кубе решен. Необходимо написать строгое математическое доказательство того, что точки квадрата имеют отношения к ребрам куба и их число может использоваться для подсчета ребер в кубе. Я надеюсь, что после публикации этой работы, кто-нибудь из профессиональных математиков заинтересуется этими вопросами и представит такое доказательство.

Возможно, требует математического доказательство и утверждение, что точки квадрата являются точками куба и входят в их число, хотя это и самоочевидно. Да и вообще все это построение и выведение формулы подсчета элементов требует доказательств шаг за шагом. Для меня нет сомнений, что такие доказательства существуют, просто пока они ни кем не записаны.

2. Метод построения куба

Здесь стоит обратить внимание, в чем же именно заключается метод построения куба следующего пространства из предыдущего, чтобы строить кубы любой мерности. В предыдущей главе мы воспользовались движением квадрата в третье измерение, для более легкого визуального представления. Но движение не является сутью метода, т.к. оно использует время, совершенно лишнее в данном процессе, и оно не предполагает никакого определенного количественного изменения параметров, поэтому для подсчета элементов оно не очень подходит. Сутью этого построения является копирование объекта, а затем проведение связей между новым объектом и его эталоном

Весь метод можно описать так: Во-первых - появление нового измерения в пространстве. Во- вторых - характерное преобразование в новое измерение (для квадрата - это копирование объекта в новое измерение). В-третьих - проведение связей между существующим объектом и объектом, появившимся в новом измерении. Из наблюдения проведенного построения мы узнали, что связью между точками является - отрезок, между отрезками - грань, между гранями - объем, т.е. связью для каждых двух равных элементов является - один элемент следующей сложности

Теперь попытаемся воспользоваться этим методом и построить куб, как бы от начала.

Пусть этим началом будет нульмерное пространство. В нульмерном пространстве может существовать точка, так как она не имеет размеров. И так, у нас есть одна точка в нульмерном пространстве (а может быть она сама и является нульмерным пространством). Увеличим пространство на одну мерность и в этом одномерном пространстве возьмем копию этой точки и проведем между ними связь, получится один отрезок, ограниченный двумя точками

Увеличим пространство еще на одну мерность. В этом двухмерном пространстве возьмем копию существующего отрезка. Здесь точки только удвоились и их стало 4 - у этих двух отрезков. Соединим каждую скопированную точку со своим эталоном - отрезкoм, получится всего 4 отрезка - один первоначальный, второй скопированный и две связи между точками. Соединим копию отрезка со своим эталоном плоскостью, получиться одна плоскость. Здесь необходимо задать новое условие, в связи с появившимися новыми возможностями - все углы будут равны 90 градусов так как мы изначально поставили цель строить кубы разной размерности. Таким образом получился квадрат

Увеличим пространство еще на одну мерность. В трехмерном пространстве возьмем копию квадрата и проведем все соответствующие связи. Получится куб

Проводя это построение, можно убедиться, что куб получается методом последовательного удвоения и соединения двух одинаковых фигур в пространстве следующей мерности.

3. Построение таблицы кубов

Составим таблицу и занесем в нее полученные результаты

Строки таблицы будут обозначать число последовательных одинаковых преобразований произведенных с объектом, обозначим их через n. Столбцы будут обозначать - какая по счету сложность у изначального элемента, обозначим их через k. В случае с кубом, преобразование - это, во-первых увеличение мерности пространства, во-вторых его удвоение и в-третьих, построение связей, а число этих удвоений совпадает с мерностью пространства, поэтому n также обозначает мерность пространства

У куба k=0 - это точки, k=1 - это отрезки (или ребра), k=2 - это плоскости (или стороны), k=3 - это пространства (или объемы)

Занесем полученные результаты в таблицу.

На основании вышеизложенного построения несложно найти любое число в таблице исходя из двух предыдущих чисел

Чтобы найти любое число в столбце, где k=0, нужно взять число из верхней клетки и умножить на 2

Чтобы найти любое число в столбцах, где k>0, нужно взять число из верхней клетки умножить на два и прибавить число из верхней левой клетки. Запишем это формулой

Далее, несложно, таким же образом, продолжить таблицу и посчитать параметры куба в четырехмерном пространстве и в пятимерном и т.д.

Рассматривая таблицу можно заметить, что у четырехмерного куба, наших трехмерных объемов 8 и есть еще 1 четырехмерный объем - это нечто новое, чего не было у трехмерного куба и значит нам трехмерным существам совершенно непонятное и непредставимое, но явно существующее, как видно из таблицы. А в пятимерном пространстве наших пространств вообще 40, глядя на таблицу понимаешь на сколько мир сложен и невообразим и какую маленькую часть занимает наше трехмерное пространство. Выявление этих неизвестных нам категорий k является одним из нескольких удивительных открытий, которые дала таблица. Возможно понимание этих категорий или хотя бы их интерпретация откроет новые стороны мироздания для нас.

4. Лирическое отступление о мужском и женском начале

Дело в том что изначальным посылом для создания таблицы была идея философская, или скорей даже эзотерическая. Поэтому она вплетаясь в логику построения таблицы. Если выбросить части философского характера и оставить только то, что имеет хоть какое-то отношение к математике, то общая нить рассуждений будет прервана и соответственно будет непонятно, откуда что взялось. Так что придется математикам недолго побыть поэтами и философами

И так, идея, как уже было сказано вo вступлении, состояла в том, что сама природа нашего пространства - кубическая. Поэтому, рассматривая кубы, мы рассматриваем именно само пространство, а не объекты в нем

Исходя из ведических текстов и многих других древних писаний - пространство является женским началом, в то время как Дух является мужским началом во вселенной. Дух, проявляя свободу воли и проецируя себя в пространство - проявляется как объект (или множество объектов), который строится строго в соответствии с законами пространства (т.е. женским началом), но сам при этом является волеизлиянием чисто мужского начала

Пространство (женское начало) - пусто, - это вместилище, то, где все находиться, оно как бы не существует, а Дух (мужское начало) все существующее, все что находится в пространстве. Для того, что бы все существовало, оно должно где-то находиться, иначе ему будет негде существовать

Пространство пусто по природе своей и единственное, что существует и при этом является пространством - это границы пространства, внутри которых оно и находится, поэтому можно предположить что законы, действующие в пространстве, определяются его границами, как бы записаны в его границах. А иначе как могут существовать и поддерживаться законы в абсолютно пустом пространстве, ведь там ничего нет, а законы есть!

Поэтому чтобы изучить законы нашего пространства, нужно изучить его границы. А поскольку мы отталкиваемся от того, что наше пространство кубическое, то достаточно изучить "границы" кубов, из чего они состоят и как строятся. Собственно в этом как раз и заключается идея, что подсчет количества точек, отрезков и т.д. у куба имеет отношение к глобальному мироустройству.

5. Правила экспансии и ограничения

В построении кубов, да, наверное, и фигур вообще, тоже проявляются два принципа: принцип экспансии (мужского начала) и принцип ограничения (женского начала) и, гармонично уравновешивая друг друга, создают объекты.

Принцип экспансии здесь проявляется в том, что из точки исходят лучи, а принцип ограничения в том, что лучи ограничиваются точками и таким образом образуются отрезки. Вообще весь процесс построения куба можно описать как последовательное проявление действия экспансии и действия ограничения. Причем исходят элементы следующей сложности, а ограничивают элементы предыдущей сложности. Начнем с начала и опишем куб как взаимодействие экспансии и ограничения

1). В одномерном пространстве из одной точки исходит один луч, этот луч ограничивается двумя точками и получается отрезок. Для удобства запишем проявления этих двух принципов короче: Из 1 точки исходит 1 отрезок. 1 отрезок ограничен 2 точками

2). В 2-мерном пространстве: из 1 точки исходит 2 отрезка. Каждый отрезок ограничен 2 точками. Из 1 отрезка исходит 1 грань. Каждая грань ограничена 4 отрезками

3). В 3-мерном пространстве: из 1 точки исходит 3 отрезка. Каждый отрезок органичен 2 точками. Из 1 отрезка исходит 2 грани. Каждая грань ограничена 4 отрезками. Из 1 грани исходит 1 объем. 1 объем ограничен 6 гранями

Запишем эти правила в таблицу для куба

Сочетание этих принципов представляет из себя строгую систему, которую тоже можно использовать для подсчета элементов у кубов. Посчитаем, к примеру, сколько ребер у трехмерного куба. У куба имеется 8 точек, а из каждой точки исходят 3 ребра т.к. пространство трехмерное. 8*3=24. Возникает вопрос, а не получилось ли так, что некоторые ребра были посчитаны несколько раз. Ведь каждое ребро ограничено двумя точками, то-есть одно и то же ребро исходит из точки и одновременно из другой точки. Поэтому, чтобы исключить то, что мы посчитали 2 раза, нужно полученное число разделить на число ограничения, т.е. на 2. 24:2=12. Еще пример: найдем число сторон у куба, пользуясь двумя соответствующими правилами. Из 1 отрезка исходит 2 грани. 1 грань ограничена 4 отрезками. Возьмем число ребер у куба - 12, умножим его на число экспансии 2 и разделим на число ограничения 4. 12*2:4=6. Обозначим число экспансии через E, а число ограничения через G. Число экспансии находится по формуле: E=n-k+1, а число ограничения по формуле: G=2k

Мне кажется, вполне законно будет эти правила написать и для многомерных кубов. Но не везде возможно написать правила словами, т.к. в многомерных кубах появляются элементы, не имеющие названия, однако числа везде написать можно. Рассматривая таблицу с правилами, можно заметить, что число экспансии увеличивается с увеличением мерности на 1, а число ограничения с усложнением элемента на 2. Учитывая эту закономерность, можно написать еще одну формулу нахождения чисел в таблице

6. Философское отступление о времени и пространстве

Другой интересный вывод, который можно сделать, глядя на таблицу это то, что время не является 4 измерением в нашем пространстве и не является 5 измерением и т.д. В этой таблице вообще нет времени, хотя число измерений стремится к бесконечности. Это значит, что никакое очередное измерение нельзя объявить временем и что пространство и время не являются одним и тем же

В таблице вместо времени есть число изменений, обозначаемое n, которое никак нельзя считать временем. Также время может помочь пронаблюдать следующее недоступное измерение. Например, представим себе движение квадрата в третье измерение, как это было описано в первой главе, и представим, что на этом квадрате есть двумерное существо, которое неспособно никак представить третье измеренье. И вот квадрат начинает двигаться в третье измерение, последовательно проходя плоскость за плоскостью. И это двумерное существо постепенно пройдет все пространство от одного края куба до другого - оставаясь при этом двумерным. Для него третье измерение будет - временем за которое прошло это движение. Но на самом деле третье измерение не станет временем из-за движения квадрата, а останется, как было. Таким же образом мы - трехмерные существа - можем переживать четвертое измерение, проходя во времени от одного трехмерного пространства к другому, но от этого четвертое измерение не превращается во время - это только наш способ его воспринимать

Из этого можно сделать вывод, что время - это средство, позволяющее нам переживать следующее измерение за теми, из которых состоит наше пространство.

7. Таблица тетраэдров

После создания этой таблицы возникла необходимость написать такую формулу, чтобы можно было найти любое число в таблице, не вычисляя при этом все предыдущие числа. На мою просьбу откликнулся Олег Горин - один из участников семинаров Юрия Ивановича Кулакова. Он написал формулу:

На мой вопрос - как он вывел эту формулу, он ответил что - догадался. Для меня появление этой формулы так и осталось загадкой. После этого Олег мне предложил написать такую же таблицу для треугольников, потому что треугольники, с его точки зрения, являются наиболее простыми и поэтому совершенными объектами по сравнению с квадратами и таблица должна получиться еще интересней. На тот момент мне показалось это бесперспективной идеей, так как метод построения, используемый для квадратов, для треугольников не годился. И тогда Олег написал таблицу для треугольников сам.

Получилась вот такая таблица для треугольников. Все три формулы, используемые для таблицы кубов, работают также и для таблицы треугольников, с той только разницей что 2 во всех трех формулах пришлось заменить на 1. И число ограничения стало тоже увеличиваться на 1, а не на 2.

8. Метод построения тетраэдра

Рассматривая эту таблицу, можно заметить, что построение также начинается с точки, потом появляется отрезок, а потом почему-то треугольник, а не квадрат. Если бы метод построения был точно таким же, то и результат был бы таким же. Очевидно, что метод здесь используется другой

Строя треугольник и тетраэдр в воображении, следуя числам таблицы, можно пронаблюдать метод, как это происходит.

Построим равносторонний треугольник из отрезка. Отрезок находится в одномерном пространстве, а затем появляется второе измерение и возможность усложнить имеющуюся фигуру. Действительно чтобы как-то обозначить новое появившееся второе измерение совсем не обязательно копировать туда объект целиком, достаточно поставить точку на плоскости и к ней провести все связи и отрезки и грань. Получится треугольник. А затем поставить точку в новом третьем измерении и к ней от треугольника провести опять все связи и отрезки и грани и объем и т.д. А это значит что отрезок из точки тоже появился иначе, чем у квадрата: т.е. в нульмерном пространстве существует точка, а затем появляется одномерное пространство и появляется возможность каким-то образом усложнить предыдущий объект. И мы ставим туда новую точку, (а не копируем предыдущую), затем проводим связь и получается отрезок. Потом появляется еще одно измерение, мы ставим там новую точку и проводим все связи к ней и т.д

Таким образом, метод построения тетраэдра в многомерном пространстве таков. Во-первых, появляется новое измерение в пространстве. Во-вторых - мы производим характерное преобразование в новом измерении (ставим точку в этом появившимся измерении), в-третьих - проводим все связи между существующим объектом и объектом, появившимся в новом измерении.

9. Сравнение метода построения куба и тетраэдра

Этот метод построения отличается от метода построения куба характерным преобразованием объекта и особенно это заметно в том, как увеличивается число точек: у тетраэдра мы прибавляем каждый раз одну точку. Поэтому с каждым увеличением мерности в таблице число точек увеличивается на один, у куба мы каждый раз удваиваем число точек, поэтому в таблице с увеличением мерности число точек каждый раз увеличивается в два раза

Но эти оба метода сходны первым шагом - увеличением мерности и третьим шагом - проведением связей от существующего объекта к появившемуся в новом измерении, поэтому формула подсчета любых элементов объекта одна и та же как у тетраэдра, так и у куба, с той только разницей, что в случае куба вся формула умножается на 2, по той же причине: удвоения всех элементов, с каждым удвоением объекта

Любопытно отметить, что различие методов также влияет на число ограничения в таблицах, в таблице тетраэдров число ограничения с каждым следующим k увеличивается на 1, а в таблице кубов число ограничения с каждым k увеличивается на 2. В то время как на число экспансии различие методов построения куба и тетраэдра не влияет. Число экспансии с каждым следующим n увеличивается на 1 при построении тетраэдра и при построении куба - одинаково.

10. Треугольник паскаля

Бросается в глаза то, что таблица треугольников почти полностью совпадает с треугольником Паскаля, с той только разницей, что в нашей таблице не хватает столбца единиц слева. Конечно, можно просто взять и подписать столбец единиц слева, но тогда возникает очень странная проблема: что бы такое могли обозначать эти единицы? Ведь самый простой элемент - это точка, как в кубе так и в треугольнике. Что же может быть проще точки? или первичнее точки? А если ничего нет, то тогда и подписать единицы невозможно. С другой стороны формула для нахождения любого элемента таблицы является формулой Ньютона для нахождения биномиальных коэффициентов и отражает треугольник Паскаля целиком вместе с единицами.

В общем, взвесив все за и против, было принято решение, что авторитет Ньютона и Паскаля важнее, чем непонятность единиц и единицы были подписаны слева, чтобы таблица полностью совпадала с треугольником Паскаля.

После этого пришлось переобозначить все k и n в таблице треугольников: k=0 стало обозначать непонятные единицы, k=1 - точки, k=2 - отрезки, k=3 - грани, k=4 - объемы. n=0 стало обозначать только первый шаг процесса преобразования тетраэдра - в данном случае появление мерности. n=1 стало обозначать первый и второй шаг процесса - появление одной мерности (одномерного пространства) и обозначение в ней точки, n=2 стало обозначать все три шага процесса: появление новой мерности (двухмерное пространство), обозначение на ней точки и проведение связи между этой точкой и уже существующим объектом (в данном случае точкой). Далее каждая n обозначает все три шага. Это переобозначение привело к странным последствиям: все тетраэдры сдвинулись в пространство на мерность больше себя, т.е. треугольник оказался в трехмерном пространстве, а тетраэдр в 4-мерном. Таблица треугольников приобрела вид:

Треугольник Паскаля хорошо изучен и у него выявлено много интересных свойств, в случае нашей таблицы одно из свойств можно сформулировать так: Сумма всех чисел в строке n равна 2n. Например: n=6. 1+6+15+20+15+6+1=64. Но 2n совпадает с числом точек у куба в пространстве этой же мерности и таким образом появляется связь между таблицей тетраэдров и кубов. Таблица кубов оказывается естественным продолжением таблицы тетраэдров. После этого открытия осталось только приклеить одну таблицу к другой, что и было сделано. И чтобы сходство таблиц было лучше видно, столбец k=0 в таблице кубов был переписан как 2n. И по аналогии - столбец K=0 в таблице тетраэдров был переписан как 1n. Таблица приобрела вид (приложение 1).

11. Таблица n-мерных объектов

Рассматривая новую таблицу и общую формулу к ней, можно заметить присутствие переменной, которой раньше не было, пока таблицы были отдельно. Это число, которое возводится в степень в столбце K=0 и на которое умножается формула, чтобы найти любое число в таблице. Назовем его числом S. В таблице тетраэдров S=1, а в таблице кубов S=2. Формулы с учетом S приобретают вид

После появления переменной S естественным образом возникает вопрос, а что если продолжить таблицу для S=3 и для S=4 и т.д. Так возникла таблица N-мерных объектов. Оставшиеся пустые клетки заполним нулями и проверим насколько это правомерно. Действительно, если проверить по общей формуле, то она работает всегда, если пустые клетки заполнены нулями. Так таблица n-мерных объектов приобрела окончательный вид. (приложение 2)

Другой вопрос: будет ли работать правило для треугольника Паскаля использованное нами в других таблицах? Действительно, если сложить все числа в одной строке из таблицы кубов, то получится 3 в соответствующей степени n. Возьмем n=4. 16+32+24+8+1+0+0...=81. Также это правило работает для таблиц с другими S. В общем виде:

Это доказывает, что эти таблицы имеют связь и являются как бы одной таблицей и, кроме того, существование единой формулы для нахождения любого числа во всей таблице n-мерных объектов дает неопровержимое доказательство, что это одна таблица, а не несколько склеенных вместе

Вспомним еще одно интересное свойство чисел в треугольнике Паскаля: числа в треугольнике являются коэффициентами разложения бинома Ньютона: (a+b)n. Возникает вопрос, а нельзя ли найти такие же биномы для таблицы кубов и др.? И путем научного тыка они были легко найдены: для кубов (2a+b)n, для S=3 - (3a+b)n и т.д. В общем виде (Sa+b)n. С этой точки зрения можно сказать, что вся эта таблица является таблицей биномиальных коэффициентов для бинома (Sa+b)n.

12. Эзотерическое отступление об n-мерном наблюдателе

Как-то раз во время очередного обсуждения таблицы Олег мне рассказал, как должны были бы выглядеть объекты разной мерности с точки зрения наблюдателя другой мерности

Например, если наблюдать 1-мерный объект - прямую - из 2-мерного пространства, то её возможно увидеть с двух сторон, а если наблюдать точку из 2-мерного пространства то точку можно увидеть с бесконечного числа сторон

Если из 3-мерного пространства наблюдать плоскость, то ее возможно увидеть с двух сторон, а прямую возможно увидеть с бесконечного числа сторон и точку тоже с бесконечного числа сторон

3-мерный наблюдатель способен посмотреть на плоскость сверху из 3 измерения и увидеть всю плоскость сразу, а 2-мерный наблюдатель может увидеть плоский объект на своей плоскости только сбоку и он будет выглядеть для него как линия, но видеть он ее сможет только снаружи, т.е. с одной стороны. Это значит, что плоскость он не сможет увидеть, но он сможет обходя этот объект вокруг воспринимать его какое-то время, поскольку он сам 2-мерный и потом в воображении представить как наблюдаемый 2-мерный объект мог выглядеть весь целиком. Так же и мы, 3-мерные существа, не можем видеть все 3 измерения 3-мерных объектов, мы видим их плоскими, но исследуя их, мы в воображении представляем их себе объемными на основании жизненного опыта. А если на нас - 3-мерных - посмотрит 4-мерное существо как бы сверху - из своего 4 измерения, то оно будет видеть нас насквозь - все наши внутренности.

Если сквозь плоскость будет проходить 3-мерный объект, то для 2-мерного наблюдателя он внезапно появится, будет выглядеть как линия, потому что больше ничего он увидеть не может, потом будет хаотически меняться, а потом исчезнет. Точно так же, если сквозь наше 3-мерное пространство будет проходить 4-мерный объект: он внезапно появится как 3-мерный объект, но видеть мы его будем как плоский образ, потому что мы так видим всё, потом он будет хаотично меняться как 3-мерный объект, а потом внезапно исчезнет

Из всего этого можно сделать вывод, что n-мерный наблюдатель может видеть n-1-мерные объекты с 2 сторон, сами n-мерные объекты он не может видеть, но может видеть их проекции на n-1-мерное пространство. Так же он может видеть проекции любых n+x>0-мерных объектов на n-1-мерное пространство. А n-x>1-мерные объекты n-мерный наблюдатель будет видеть с бесконечного числа сторон.

13. N-мерная единица Паскаля

Рассмотрим таблицу тетраэдров. Появление столбца единиц слева от точек в таблице тетраэдров привело к странным последствиям: все тетраэдры сдвинулись в пространство на мерность больше себя, тетраэдр оказался в 4-мерном пространстве, треугольник - в трехмерном, отрезок на плоскости, точка на прямой, а в нульмерном пространстве появился новый элемент и это не точка. Условно можно назвать этот элемент - единицей Паскаля, поскольку в таблицу она попала из-за Паскаля. Но и исключить ее тоже невозможно, поскольку эта единица входит в формулы и является необходимым элементом таблицы.

Особенность единицы Паскаля в том, что она находится в степени n, как раз в нужной степени соответствующей мерности пространства, в то время как объект, структурой которого она является, имеет на одну мерность меньше

Например: треугольник, оставаясь 2-мерной фигурой, находится в 3 измерениях и в его структуру входит еще один 3-мерный неизвестный элемент, не находясь на плоскости треугольника. Точно также в структуру тетраэдра входит некий 4-мерный элемент, который находится снаружи тетраэдра. Остается теряться в догадках: что бы это могло быть? - и подбирать интерпретации

Интерпретация №1. N-мерный наблюдатель

Роль единицы Паскаля вполне мог бы исполнять N-мерный наблюдатель. Если он является сознанием, ему совсем не нужно определенное место что бы где-тo находиться. Суть его существования в том что он наблюдает объект на мерность меньше себя, что как раз и совпадает с числами в таблице. Это предположение говорит о том что при каждом тетраэдре просто обязан быть 4-мерный наблюдатель, иначе тетраэдр не сможет существовать!

Интерпретация №2. Мерность

А может быть, эти единицы являются отражением увеличения самой мерности и первым шагом преобразования. Когда мы говорим: увеличилась мерность пространства - это обозначает, что у нас появилась возможность строить объекты в этой мерности, а числом это выражается как раз как 1n. Таким образом, треугольник находится в трехмерном пространстве и это пространство одно, поэтому 1, и оно находится снаружи треугольника везде, поэтому провести какие-либо связи между пространством и элементами треугольника просто невозможно. Но только все же непонятно: какая такая необходимость треугольнику находиться в пространстве на мерность большей себя?

Интерпретация №3. Элементарный тетраэдр

Эта интерпретация - Олега Горина и он подробно ее рассматривает в своей работе, связана она с тем, как я понимаю, что единица все-таки находится в таблице тетраэдров и поэтому должна отражать именно тетраэдры

Интерпретация №4. Источник точек

По аналогии с правилами экспансии и ограничения для колонки k=0, где S=1 тоже можно написать такие же правила, и на основании одного из свойств k=0 назвать еденицу Паскаля - источник точек, тогда, например, в 3-мерном пространстве источник точек будет испускать 4 точки, 3 из них являются вершинами треугольника, а четвертой не остается ничего другого как быть будущей точкой тетраэдра и той самой непонятной единицей. И тогда получается что и k=0 и k=1 являются точками.

14. Геометрическая интерпретация таблицы

В таблице, где S=3 по аналогии с таблицами тетраэдров и кубов возникает желание как-то назвать элементы объекта: k=0, k=1, k=2, k=3. На первый взгляд кажется естественным начинать с точек, т.е. k=0 - точки, k=1 - отрезки и т.д.Но представить такой объект мне не удалось, единственная интерпретация, которая получилась:

Подобная интерпретация годится и для любого другого объекта S>2. Но мне кажется это не собственная интерпретация объектов, а только их проекция на кубическое пространство

Попробуем в таблице, где S=3 интерпретировать k иначе. Если сопоставить интерпретацию k в тетраэдрах и кубах мы увидим, что точки в тетраэдрах обозначены k=1, а в кубах k=0, если этот сдвиг в обозначении точек продолжится дальше, то в следующем объекте точек вообще не будет, а самые простые элементы - будут отрезки (или если без точек, то прямые). Но и исходя из этого - нарисовать объект не получилось. И все-таки этот сдвиг кажется более правильным, так как сочетается с логикой всей таблицы

Посмотрим еще раз на таблицу тетраэдров. Хочется сделать акцент на том факте, что увеличение мерности пространства опережает увеличение мерности объекта и у объекта всегда в запасе есть возможность для развития. Или можно сказать так, что всегда рядом с n-мерным тетраэдром присутствует пустое пространство. А вот о кубах этого сказать нельзя. В случае с кубами увеличение мерности пространства совпадает с увеличением мерности объекта, поэтому куб занимает все пространство и рядом с ним нет пустого пространства. Если разницу увеличения мерности пространства и объекта рассмотреть дальше, где S=3, то можно заметить, что в этом случае увеличение мерности объекта опережает увеличение мерности пространства, (например: у oбъекта в 1-мернoм прoстранстве имеется 1 грань) возможно, поэтому нельзя подобрать геометрическую интерпретацию объектам где S>2. Эти объекты как бы не влезают в данное им пространство и геометрическую интерпретацию могут иметь только части объекта, в то время как другие его части быть чем-то другим

Стоит обратить внимание на уникальность того факта, что у кубов объекты совпадают с мерностью пространства, может быть именно поэтому само пространство и является кубическим, а не каким-нибудь другим.

15. Смысл числа S

Итак наше пространство кубическое. Кубы от других объектов отличаются только числом S и в случае кубов оно равно 2. Возникает вопрос что же это за такое волшебное число 2, которое лежит в основании нашего мира? То есть чего у нас два в глобальном смысле? Но если мы вспомним процесс построения таблицы, то станет ясно, что нет никакого волшебного числа 2. S это не число, а характерное преобразование, которое с каждым n производится с объектом. В случае кубов - это процесс копирования объекта целиком. И этот процесс действительно лежит в основании нашего пространства, а не число 2

Из этого понятно, что кубы от тетраэдров отличаются не числом S, а характерным преобразованиям, что и приводит к разным результатам. Поэтому чтобы понять что за объекты соответствуют таблице, где S=3 нужно понять, какое преобразование кроется за числом 3 и это не утроение. Потому что утроение это тоже самое - что и удвоение - они различаются только числом и не отличаются процессом преобразования. В случае утроения получаются те же формы что и кубы, а лишние элементы сoставляют внутреннюю кубическую структуру (рис 2). Но наверняка существует какой-то другой процесс, соответствующий числу 3 и числу 4 и т.д. и пока эти процессы не найдены, интерпретировать эти объекты невозможно

Вообще можно сказать, что интерпретация всей таблицы зависит, прежде всего, от интерпретации числа S.

16. Виртуализация тетраэдра

Если мы интерпретируем S как число, а не как характерное преобразование объекта; тогда суть преобразования будет заключаться в формулах, а поскольку формулы одинаковы для таблицы кубов и для таблицы тетраэдров, то и преобразования мы будем считать одинаковыми.

Рассмотрим теперь свойство связи таблиц :

Если вспомнить, что k представляют из себя разные элементы фигур - точки, отрезки, грани и т.д., то окажется, что сложить их так, как они есть, совершенно невозможно! Действительно, как можно точки прибавить к отрезкам? Что же должно из этого получиться? Прежде чем их складывать, необходимо как-то сделать их чем-то одинаковым или хотя бы сравнимым. В данном случае мы это делаем при помощи называния или символизации словом. Мы их называем - «элементы» и после этого мы можем складывать эти элементы. Но только складываем мы не точки с отрезками, а их названия или символы. И поэтому 2n является числом символов элементов тетраэдра, а поскольку это вершины куба, то можно сказать что вершины куба символизируют все элементы треугольника, которых как раз 8 (учитывая n-мерного наблюдателя). Или можно сказать, что куб это совсем не куб, а запрограмированный треугольник.

Наглядно это можно представить так:

Подвесим куб за вершину и посмотрим на него точно сверху. Та вершина за которую подвешен куб, будет символизировать n-мерного наблюдателя. Следующие 3 вершины куба - будут символизировать и совпадать с вершинами треугольника, который между ними и будет находиться. Следующие 3 вершины куба будут находиться напротив ребер треугольника и их символизировать. И последняя одна вершина куба будет находиться снизу куба и символизировать плоскость треугольника.

Исходя из этой интерпретации, можно описать процесс построения таблицы так:

В соответствии с мерностью пространства (значением n) мы строим тетраэдр по формуле:

После этого в каждой строке n таблицы тетраэдров мы складываем число элементов тетраэдра, символизируем их точками, а число точек записываем в форме числа в степени n. Затем на основании этих точек мы строим следующий объект по той же формуле. Затем снова складываем все элементы полученного объекта и обозначаем их точками следующего объекта, записываем в форме числа в степени n и т.д

В этой интерпретации каждый раз происходит как бы виртуализация объекта. Число S обозначает количество последовательных виртуализаций тетраэдра. А наше кубическое пространство является всего лишь первой виртуализацией тетраэдра.

Заключение

Можно подобрать еще много интерпретаций таблицы, а можно и вовсе отказаться от интерпретаций, устремляясь к идеальности структуры. В первом случае, - если отождествить какую-нибудь интерпретацию с самой структурой, то есть опасность - частный случай посчитать законом, а во втором, - если отказаться от любых интерпретаций, то голые числа потеряют всякий смысл для нас. Поэтому, я думаю, стоит двигаться в обоих направлениях - совершенствовать структуру и подбирать интерпретации к ней

Надеюсь, что публикация этой работы поспособствует появлению новых идей и даст возможность разгадать основные загадки таблицы многомерных объектов, существующие на данный момент:

1. Что отражает n-мерная единица Паскаля?

2. Что есть четырехмерный объем в кубическом пространстве?

3. Как можно изобразить объекты, где S=3?

В настоящее время на один из этих вопросов уже получен ответ и готовится вторая редакция этой работы с новыми возникшими проблемами.

Приложение №1, Приложение №2 к статье Треугольник паскаля - основа кубического пространства.